Problem6728--学习系列 —— 位运算

6728: 学习系列 —— 位运算

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Description

计算机中的进制

二进制 Binary Number

二进制数字，就是底数位 $2$ 的数字，使用 $2$ 个符号 $01$。 
int n = 0b1010111100011100; // 44828

十六进制 Hexadecimal Number

十六进制数字，就是底数位 $16$ 的数字，使用 $16$ 个符号 $0123456789abcdef$。 
int n = 0xaf1c; // 44828


位运算概述

位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据，位运算是相当快的。例如：
$(5)_{10}=(101)_2, (6)_{10}=(110)_2$
基本的位运算共 $6$ 种，分别为按位与、按位或、按位异或、按位反、左移和右移。
符号
 描述
 运算规则
& 按位与 两个位都为 $1$ 时，结果才为 $1$。
 | 按位或 两个位都为 $0$ 时，结果才为 $0$。
^ 按位异或 两个位相同为 $0$，相异为 $1$。
~ 按位反 $0$ 变 $1$，$1$ 变 $0$。
<< 左移 各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补 $0$。
>> 右移 各二进位全部右移若干位，对无符号数，高位补 $0$，有符号数，各编译器处理方法不一样，有的补符号位（算术右移），有的补 $0$（逻辑右移）。


按位与

【运算规则】
x & y：同为 $1$ 时，结果为 $1$ 
3 & 4
3（0000 0011）
4（0000 0100）
-------------
0（0000 0000）
【作用】
1）清零
如果想将一个单元清零，即使其全部二进制位为 $0$ ，只要与一个各位都为零的数值相与，结果为零。
2）取一个数的指定位
比如取数 X=1010 1110 的低 $4$ 位，只需要另找一个数 Y，令 Y 的低 $4$ 位为 $1$，其余位为 $0$，即 Y=0000 1111，然后将 X 与 Y 进行按位与运算（X&Y=0000 1110）即可得到 X 的指定位。
3）判断奇偶
只要根据最未位是 $0$ 还是 $1$ 来决定，为 $0$ 就是偶数，为 $1$ 就是奇数。因此可以用 if ((a & 1) == 0) 代替 if (a % 2 == 0) 来判断 $a$ 是不是偶数。

按位或

【运算规则】
x | y：同为 $0$ 时，结果为 $0$
3 | 4
3（0000 0011）
4（0000 0100）
-------------
7（0000 0111）
【作用】
1）常用来对一个数据的某些位设置为 $1$
比如将数 X=1010 1110 的低 $4$ 位设置为 $1$，只需要另找一个数 Y，令 Y 的低 $4$ 位为 $1$，其余位为 $0$，即Y=0000 1111，然后将 X 与 Y 进行按位或运算（X|Y=1010 1111）即可得到。

按位异或

【运算规则】
x^y 相同为 $0$，不同为 $1$
3 ^ 4
3（0000 0011）
4（0000 0100）
-------------
7（0000 0111）
【作用】
1）翻转指定位
比如将数 X=1010 1110 的低 $4$ 位进行翻转，只需要另找一个数 Y，令 Y 的低 $4$ 位为 $1$，其余位为 $0$，即Y=0000 1111，然后将 X 与 Y 进行异或运算（X^Y=1010 0001）即可得到。
2）与0相异或值不变
例如：1010 1110 ^ 0000 0000 = 1010 1110
3）交换两个数
void Swap(int &a, int &b){
    if (a != b){
        a ^= b;
        b ^= a;
        a ^= b;
    }
}

按位反

【运算规则】
~x $0$ 变 $1$，$1$ 变 $0$ 
按位取反：二进制每一位取反，0变1，1变0。
~9的计算步骤： 
转二进制：0 1001 
计算补码：0 1001 
按位取反：1 0110
 
转为原码： 
按位取反：1 1001   
末位加一：1 1010
 
符号位为1是负数，即-10 
“~x”的结果为“-（x+1）”
【作用】
1）使一个数的最低位为零
使 a 的最低位为 $0$，可以表示为：a & ~1。~1 的值为 1111 1111 1111 1110，再按"与"运算，最低位一定为 $0$。因为" ~"运算符的优先级比算术运算符、关系运算符、逻辑运算符和其他运算符都高。

左移

【运算规则】
左移可看作整数 $m$ 乘以 $2^n$。 
3<<4 
3（0000 0011）待移位的数字
 6（0000 0110）左移第一位，左移一位之后，最右边的将会缺失，所以不足位数，补一位0，最左边将会多出一位，所以舍掉一位
12（0000 1100）左移第二位，最右边再补一位0，最左边再舍掉一位
24（0001 1000）左移第三位，最右边再补一位0，最左边再舍掉一位
48（0011 0000）左移第四位，最右边再补一位0，最左边再舍掉一位
 
 = 3 * 2⁴ 
 = 3 * 16 
 = 48

右移

右移可看作整数 $m$ 除以 $2^n$。
8 >> 2
8（0000 1000）待右移的数字
4（0000 0100）右移第一位，最左边将会缺失一位，不足位数补一位0，最右边将会多出一位，所以舍掉最右边的一位
2（0000 0010）右移第二位，最左边再补一位0，最右边再舍掉一位
 
= 8 / 2²
= 8 / 4
= 2

备注

以"与运算"为例说明如下：我们假设在某个系统下 C++ 语言中 long 型占 $4$ 个字节，int 型占 $2$ 个字节，如果一个 long 型数据与一个 int 型数据进行"与运算"，右端对齐后，左边不足的位依下面三种情况补足，
  • 1）如果整型数据为正数，左边补 $16$ 个 $0$。
  • 2）如果整型数据为负数，左边补 $16$ 个 $1$。
  • 3）如果整形数据为无符号数，左边也补 $16$ 个 $0$。
    • 如：long a=123；int b=1；计算a& b。 如：long a=123；int b=-1；计算a& b。
    如：long a=123；unsigned intb=1；计算a & b。

进一步应用

判断一个数字 $x$ 二进制下第 $i$ 位是不是等于 $1$

参考 6796。

将一个数字 $x$ 二进制下第 $i$ 位更改成 $1$

参考 6788。

将一个数字 $x$ 二进制下第 $i$ 位更改成 $0$

参考 6795。

把一个数字二进制下最靠右的第一个 $1$ 去掉



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