10556: NOIP2023 T2:三值逻辑(tribool)
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Description
小 L 今天学习了 Kleene 三值逻辑。
在三值逻辑中,一个变量的值可能为:真($\mathit{True}$,简写作 $\mathit{T}$)、假($\mathit{False}$,简写作 $\mathit{F}$)或未确定($\mathit{Unknown}$,简写作 $\mathit{U}$)。
在三值逻辑上也可以定义逻辑运算。由于小 L 学习进度很慢,只掌握了逻辑非运算 $\lnot$,其运算法则为:
$\lnot \mathit{T} = \mathit{F}, \lnot \mathit{F} = \mathit{T}, \lnot\mathit{U} = \mathit{U}.$
现在小 L 有 $n$ 个三值逻辑变量 $x_1,\cdots, x_n$。小 L 想进行一些有趣的尝试,于是他写下了 $m$ 条语句。语句有以下三种类型,其中 $\leftarrow$ 表示赋值:
1. $x_i \leftarrow v$,其中 $v$ 为 $\mathit{T}, \mathit{F}, \mathit{U}$ 的一种;
2. $x_i \leftarrow x_j$;
3. $x_i \leftarrow \lnot x_j$。
一开始,小 L 会给这些变量赋初值,然后按顺序运行这 $m$ 条语句。
小 L 希望执行了所有语句后,所有变量的最终值与初值都相等。在此前提下,小 L 希望初值中 $\mathit{Unknown}$ 的变量尽可能少。
在本题中,你需要帮助小 L 找到 $\mathit{Unknown}$ 变量个数最少的赋初值方案,使得执行了所有语句后所有变量的最终值和初始值相等。小 L 保证,至少对于本题的所有测试用例,这样的赋初值方案都必然是存在的。
在三值逻辑中,一个变量的值可能为:真($\mathit{True}$,简写作 $\mathit{T}$)、假($\mathit{False}$,简写作 $\mathit{F}$)或未确定($\mathit{Unknown}$,简写作 $\mathit{U}$)。
在三值逻辑上也可以定义逻辑运算。由于小 L 学习进度很慢,只掌握了逻辑非运算 $\lnot$,其运算法则为:
$\lnot \mathit{T} = \mathit{F}, \lnot \mathit{F} = \mathit{T}, \lnot\mathit{U} = \mathit{U}.$
现在小 L 有 $n$ 个三值逻辑变量 $x_1,\cdots, x_n$。小 L 想进行一些有趣的尝试,于是他写下了 $m$ 条语句。语句有以下三种类型,其中 $\leftarrow$ 表示赋值:
1. $x_i \leftarrow v$,其中 $v$ 为 $\mathit{T}, \mathit{F}, \mathit{U}$ 的一种;
2. $x_i \leftarrow x_j$;
3. $x_i \leftarrow \lnot x_j$。
一开始,小 L 会给这些变量赋初值,然后按顺序运行这 $m$ 条语句。
小 L 希望执行了所有语句后,所有变量的最终值与初值都相等。在此前提下,小 L 希望初值中 $\mathit{Unknown}$ 的变量尽可能少。
在本题中,你需要帮助小 L 找到 $\mathit{Unknown}$ 变量个数最少的赋初值方案,使得执行了所有语句后所有变量的最终值和初始值相等。小 L 保证,至少对于本题的所有测试用例,这样的赋初值方案都必然是存在的。
Input
本题的测试点包含有多组测试数据。
输入的第一行包含两个整数 $c$ 和 $t$,分别表示测试点编号和测试数据组数。对于样例,$c$ 表示该样例与测试点 $c$ 拥有相同的限制条件。
接下来,对于每组测试数据:
- 输入的第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$,分别表示变量个数和语句条数。
- 接下来 $m$ 行,按运行顺序给出每条语句。
- 输入的第一个字符 $v$ 描述这条语句的类型。保证 $v$ 为 `TFU+-` 的其中一种。
- 若 $v$ 为 `TFU` 的某一种时,接下来给出一个整数 $i$,表示该语句为 $x_i \leftarrow v$;
- 若 $v$ 为 `+`,接下来给出两个整数 $i,j$,表示该语句为 $x_i \leftarrow x_j$;
- 若 $v$ 为 `-`,接下来给出两个整数 $i,j$,表示该语句为 $x_i \leftarrow \lnot x_j$。
输入的第一行包含两个整数 $c$ 和 $t$,分别表示测试点编号和测试数据组数。对于样例,$c$ 表示该样例与测试点 $c$ 拥有相同的限制条件。
接下来,对于每组测试数据:
- 输入的第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$,分别表示变量个数和语句条数。
- 接下来 $m$ 行,按运行顺序给出每条语句。
- 输入的第一个字符 $v$ 描述这条语句的类型。保证 $v$ 为 `TFU+-` 的其中一种。
- 若 $v$ 为 `TFU` 的某一种时,接下来给出一个整数 $i$,表示该语句为 $x_i \leftarrow v$;
- 若 $v$ 为 `+`,接下来给出两个整数 $i,j$,表示该语句为 $x_i \leftarrow x_j$;
- 若 $v$ 为 `-`,接下来给出两个整数 $i,j$,表示该语句为 $x_i \leftarrow \lnot x_j$。
Output
对于每组测试数据输出一行一个整数,表示所有符合条件的赋初值方案中,$\mathit{Unknown}$ 变量个数的最小值。
Constraints
对于所有测试数据,保证:
- $1 \le t \le 6$,$1 \le n,m \le 10 ^ 5$;
- 对于每个操作,$v$ 为 `TFU+-` 中的某个字符,$1 \le i,j \le n$。
- $1 \le t \le 6$,$1 \le n,m \le 10 ^ 5$;
- 对于每个操作,$v$ 为 `TFU+-` 中的某个字符,$1 \le i,j \le n$。
Sample 1 Input
1 3
3 3
- 2 1
- 3 2
+ 1 3
3 3
- 2 1
- 3 2
- 1 3
2 2
T 2
U 2
Sample 1 Output
0
3
1
第一组测试数据中,$m$ 行语句依次为
- $x_2 \leftarrow \lnot x_1$;
- $x_3 \leftarrow \lnot x_2$;
- $x_1 \leftarrow x_3$。
一组合法的赋初值方案为 $x_1 = \mathit{T}, x_2 = \mathit{F}, x_3 = \mathit{T}$,共有 $0$ 个$\mathit{Unknown}$ 变量。因为不存在赋初值方案中有小于 $0$ 个$\mathit{Unknown}$ 变量,故输出为 $0$。
第二组测试数据中,$m$ 行语句依次为
- $x_2 \leftarrow \lnot x_1$;
- $x_3 \leftarrow \lnot x_2$;
- $x_1 \leftarrow \lnot x_3$。
唯一的赋初值方案为 $x_1 = x_2 = x_3 = \mathit{U}$,共有 $3$ 个$\mathit{Unknown}$ 变量,故输出为 $3$。
第三组测试数据中,$m$ 行语句依次为
- $x_2 \leftarrow \mathit{T}$;
- $x_2 \leftarrow \mathit{U}$;
一个最小化 $\mathit{Unknown}$ 变量个数的赋初值方案为 $x_1 = \mathit{T}, x_2 = \mathit{U}$。$x_1 = x_2 = \mathit{U}$ 也是一个合法的方案,但它没有最小化 $\mathit{Unknown}$ 变量的个数。
- $x_2 \leftarrow \lnot x_1$;
- $x_3 \leftarrow \lnot x_2$;
- $x_1 \leftarrow x_3$。
一组合法的赋初值方案为 $x_1 = \mathit{T}, x_2 = \mathit{F}, x_3 = \mathit{T}$,共有 $0$ 个$\mathit{Unknown}$ 变量。因为不存在赋初值方案中有小于 $0$ 个$\mathit{Unknown}$ 变量,故输出为 $0$。
第二组测试数据中,$m$ 行语句依次为
- $x_2 \leftarrow \lnot x_1$;
- $x_3 \leftarrow \lnot x_2$;
- $x_1 \leftarrow \lnot x_3$。
唯一的赋初值方案为 $x_1 = x_2 = x_3 = \mathit{U}$,共有 $3$ 个$\mathit{Unknown}$ 变量,故输出为 $3$。
第三组测试数据中,$m$ 行语句依次为
- $x_2 \leftarrow \mathit{T}$;
- $x_2 \leftarrow \mathit{U}$;
一个最小化 $\mathit{Unknown}$ 变量个数的赋初值方案为 $x_1 = \mathit{T}, x_2 = \mathit{U}$。$x_1 = x_2 = \mathit{U}$ 也是一个合法的方案,但它没有最小化 $\mathit{Unknown}$ 变量的个数。
Sample 2 Input
2 6
10 10
T 3
+ 1 2
- 7 1
+ 2 10
T 6
- 1 4
U 3
+ 7 10
F 5
+ 6 9
10 10
- 7 6
+ 4 1
+ 6 4
T 1
+ 2 9
- 9 10
U 10
+ 5 5
U 8
T 3
10 10
- 9 8
- 8 6
- 6 5
- 5 4
- 4 3
+ 3 9
- 1 2
+ 2 7
+ 7 10
- 10 1
10 10
- 7 5
+ 5 1
+ 1 7
+ 2 3
+ 3 4
+ 4 6
+ 6 8
- 8 9
+ 9 10
- 10 2
10 10
- 1 1
U 1
T 7
U 8
- 9 6
U 3
- 9 3
- 6 3
+ 9 3
- 9 8
10 10
- 7 3
- 5 3
+ 3 7
- 1 6
+ 4 6
- 8 4
- 6 8
+ 2 2
- 9 9
- 10 10
Sample 2 Output
1
4
6
3
5
5